Zunächst einmal stellt sich die Frage, was für einen Vertrag der Versorger "annimmt". Rechnet er die Preise in der sogenannten Grundversorgung ab, so kann durchaus auch ein Vertrag OHNE Unterschrift zustande kommen, da gem. Rechtsprechung des BGH ein solcher Vertrag auch alleine durch Entnahme von Gas aus dem öffentlichen Netz zustande kommen kann. Wird ein Sondertarifpreis abgerechnet (der meist günstiger ist als der Preis in der Grundversorgung), so müsste hier wohl ein unterschriebener Vertrag vorliegen.
Grundsätzlich ist der Mieter/Eigentümer einer Wohnung verpflichtet, seine Anmeldung bei den Energieversorgern (Gas/Strom) eigenständig vorzunehmen, wenn er Energie aus dem öffentlichen Netz entnimmt (§ 2Abs. 2 GasGVV bzw. StromGVV), es sei denn, mit dem Eigentümer/Vermieter ist explizit etwas anderes vereinbart. Ob dieses im Einzelfall so ist, muss jeweils geprüft werden.
Eine "Verjährung" wird im vorliegenden Fall wohl noch nicht eingetreten sein, da diese auf die Entstehung eines Anspruchs abstellt (§ 199 BGB), diese Anspruchsentstehung aber eine Rechnung mit entsprechender Fälligkeit voraussetzt.
Einzige Möglichkeit wäre ggf. eine sogenannte "Verwirkung", welche ein durch die Gerichte gebildetes Rechtsinstitut ist, wonach möglicherweise Ansprüche des Versorgers nach einer gewissen Zeit nicht mehr eingetrieben werden könnten. Dieses ist aber mit Sicherheit nichts, was man ohne Anwalt entscheiden kann.
Fraglich ist des weiteren, was tatsächlich Inhalt des Mietvertrages war/ist. Auch hier sollte eine saubere rechtliche Prüfung erfolgen. Ggf. mal zum Mieterverein oder zur Verbraucherzentrale gehen und sich beraten lassen. Möglicherweise gibt es da Rückzahlungsansprüche gegenüber dem Vermieter.
Interessant wäre auch, ob beim Einzug die Zählerstände festgehalten wurden, um zumindest feststellen zu können, ob die abgerechnete Gesamtmenge stimmt.
Am einfachsten dürfte man sich mit dem Versorger noch über die zukünftigen Abschläge einigen können. Gem. § 41 Abs 2 EnWG richtet sich die Abschlagshöhe nach dem vergleichbaren Verbrauch des Vorjahres oder dem Verbrauch vergleichbarer Kunden. Wenn man den Verbrauch für die 3 Jahre durch 36 Monate teilt, kommt man auf einen monatlichen Betrag, der DEUTLICH unter den angesetzten 205 € liegt. Zunächst müsste der Versorger mal darlegen, welche Berechnung seiner Abschlagssumme zugrunde liegt. Damit sollte er schon Schwierigkeiten haben. Aber selbst wenn, sollte man über § 41 Abs. 2 eine Reduzierung hinbekommen.